Quelle est la meilleure manière de disposer des pommes ?

Pour disposer des pommes sur un étal, les marchands de fruits adoptent « naturellement » un rangement : une pyramide régulière à base triangulaire. Une équipe franco-allemande, impliquant notamment le Laboratoire de physique des solides (Université Paris-Sud/CNRS), vient de démontrer que cette disposition est privilégiée pour des raisons de stabilité mécanique. Ces travaux sont publiés sur le site de Physical Review Letters (PRL). Ils pourraient intervenir dans la conception de matériaux poreux organisés.

Prenez des pommes ou bien des billes. La manière la plus optimale de les empiler consiste à édifier une pyramide couche par couche, ce qui garantit de caser le maximum de sphères dans le minimum d’espace. Plusieurs arrangements existent pour ranger de telles sphères identiques (et de même volume) avec la meilleure et même densité. Deux sont particulièrement connus : un arrangement dit cubique face centrée (CFC) dont la base est nécessairement un triangle pour la plus petite pyramide possible, et un empilement hexagonal compact (HCP) dont la base est hexagonale lorsqu’on édifie également la plus petite pyramide possible. La première disposition consiste en une répétition périodique de trois différentes positions de couches : ABCABC… Dans la seconde, deux différentes positions de couches sont répétées périodiquement : ABABAB... Dès 1611, en étudiant l’empilement de boulets de canon, le scientifique Johannes Kepler avait proposé l’arrangement CFC comme étant le plus efficace. Il s’agit d’ailleurs de celui adopté par les marchands pour empiler leurs fruits et légumes.

© S. Heitkam

Empilement dit cubique face centrée (CFC ou FCC en anglais) dans laquelle la même disposition de couches se répète toutes les trois couches.

© S. Heitkam

Empilement hexagonal compact (HCP) dans laquelle la même disposition de couches se répète toutes les deux couches.

De plus, l’empilement CFC s’avère être celui qui perdure dans le temps au détriment de HCP, notamment lors de la formation spontanée d’empilements de bulles, gouttes ou grains solides de volume égal. Pourquoi une telle préférence alors que les deux structures garantissent la même compacité ? Telle est la question à laquelle les chercheurs se sont attelés. L’une des explications avancées jusqu’à présent était un désordre (ou entropie) plus élevé dans un empilement CFC que dans une disposition HCP. Mais cet argument, qui pourrait être vrai pour de très petits objets de taille nano- ou microscopique, n’est plus correct pour des objets macroscopiques tels des bulles ou des gouttes.

Les chercheurs ont réalisé simulations numériques et expériences avec des sphères macroscopiques de différentes tailles (supérieures à 10^-6 mètres). Après avoir lancé de telles sphères dans une boîte, ils ont observé comment se formaient les empilements, puis ont fait subir au système des tests mécaniques. Les chercheurs ont mis en évidence que les deux arrangements CFC et HCP se formaient avec la même probabilité. Cependant, l’empilement hexagonal compact est plus fréquemment détruit lors de l’arrivée de nouvelles sphères. Il est alors converti en une structure cubique face centrée plus stable. C’est ainsi qu’ils ont démontré que cet arrangement CFC était mécaniquement bien plus stable que toutes les autres structures hexagonales compactes. La raison ? A la surface d’un empilement pyramidal, quelques voisins manquent¹. Dans les structures CFC, les forces étant transférées via des lignes droites, cela ne provoque pas le déséquilibre du système. En revanche, dans les autres empilements, il existe une force résultante, vers l’extérieur, appliquée sur les sphères situées aux bords, qui les pousse en dehors de l’empilement.

Si cette force n’est pas compensée par une force de gravité ou un frottement suffisant, la structure HCP s’effondre. Ainsi, une pyramide comportant quatre couches de sphères sans frottement, selon un arrangement HCP, peut déjà s’écrouler sous son propre poids. A contrario, on peut continuer à empiler indéfiniment les couches dans une structure CFC. Des phénomènes extérieurs, comme une agitation ou le passage empressé de personnes à proximité de l’édifice, peuvent déstabiliser la structure HCP, et dès lors favoriser la formation de l’arrangement CFC. Les scientifiques étudient désormais si ce mécanisme intervient dans d’autres conditions : cisaillement de l’édifice, utilisation de sphères « molles »… Il jouerait un rôle significatif dans certains matériaux poreux organisés en réseaux réguliers. 

1 Au sein d’un empilement complet (qui occuperait l’ensemble du volume d’une boîte), cela ne joue aucun rôle : toutes les forces sont compensées par les sphères voisines.

Reference: http://www.cnrs.fr/inp/spip.php?article797